Объём призмы формула. Н.Никитин Геометрия

Н.Никитин Геометрия. Объем прямой призмы

Объём призмы формула. Н.Никитин Геометрия

курс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия.

Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля – до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная.

База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

В физике треугольная призма, сделанная из стекла, часто используется для изучения спектра белого света, поскольку она способна разлагать его на отдельные составляющие. В данной статье рассмотрим формулу объема

Что такое треугольная призма?

Перед тем как приводить формулу объема рассмотрим свойства этой фигуры.

Чтобы получить этот необходимо взять треугольник произвольной формы и параллельно самому себе перенести его на некоторое расстояние. Вершины треугольника в начальном и конечном положении следует соединить прямыми отрезками.

Полученная объемная фигура называется треугольной призмой. Она состоит из пяти сторон. Две из них называются основаниями: они параллельны и равны друг другу. Основаниями рассматриваемой призмы являются треугольники.

Три оставшиеся стороны – это параллелограммы.

Помимо сторон, рассматриваемая призма характеризуется шестью вершинами (по три для каждого основания) и девятью ребрами (6 ребер лежат в плоскостях оснований и 3 ребра образованы пересечением боковых сторон). Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то такая призма называется прямоугольной.

Отличие треугольной призмы от всех остальных фигур этого класса заключается в том, что она всегда является выпуклой (четырех-, пяти-, …, n-угольные призмы могут также быть вогнутыми).

Это прямоугольная фигура, в основании которой лежит равносторонний треугольник.

Объем треугольной призмы общего типа

Как найти объем треугольной призмы? Формула в общем виде аналогична таковой для призмы любого вида. Она имеет такую математическую запись:

Здесь h – это высота фигуры, то есть расстояние между ее основаниями, S o – площадь треугольника.

Величину S o можно найти, если известны некоторые параметры для треугольника, например одна его сторона и два угла или две стороны и один угол. Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на длину стороны, на которую опущена эта высота.

Что касается высоты h фигуры, то ее проще всего найти для прямоугольной призмы. В последнем случае h совпадает с длиной бокового ребра.

Объем правильной треугольной призмы

Общую формулу объема треугольной призмы, которая приведена в предыдущем разделе статьи, можно использовать для вычисления соответствующей величины для правильной треугольной призмы. Поскольку в ее основании лежит равносторонний треугольник, то его площадь равна:

Эту формулу может получить каждый, если вспомнит, что в равностороннем треугольнике все углы равны друг другу и составляют 60 o . Здесь символ a – это длина стороны треугольника.

Высота h является длиной ребра. Она никак не связана с основанием правильной призмы и может принимать произвольные значения. В итоге формула объема треугольной призмы правильного вида выглядит так:

Вычислив корень, можно переписать эту формулу так:

Таким образом, чтобы найти объем правильной призмы с треугольным основанием, необходимо возвести в квадрат сторону основания, умножить эту величину на высоту и полученное значение умножить на 0,433.

ПРЯМАЯ ПРИЗМА. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.

§ 68. ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.

1. Объём прямой треугольной призмы.

Пусть требуется найти объём прямой треугольной призмы, площадь основания которой равна S, а высота равна h = АА” = = ВВ” = СС” (черт. 306).

Начертим отдельно основание призмы, т. е. треугольник АBС (черт. 307, а), и достроим его до прямоугольника, для чего через вершину В проведём прямую КМ || АС и из точек A и С опустим на эту прямую перпендикуляры АF и СЕ.

Получим прямоугольник АСЕF. Проведя высоту ВD треугольника АBС, увидим, что прямоугольник АСЕF разбился на 4 прямоугольных треугольника. Причём /\ ВСЕ = /\ BCD и /\ ВАF = /\ ВАD.

Значит, площадь прямоугольника АСЕF вдвое больше площади треугольника АBС, т. е. равна 2S.

К данной призме с основанием АBС пристроим призмы с основаниями ВСЕ и BАF и высотой h (черт. 307, б). Получим прямоугольный параллелепипед с основанием
АСЕF.

Если этот параллелепипед рассечём плоскостью, проходящей через прямые BD и ВВ”, то увидим, что прямоугольный параллелепипед состоит из 4 призм с основаниями
ВСD, ВСЕ, BАD и ВАF.

Призмы с основаниями ВСD и ВСЕ могут быть совмещены, так как основания их равны (/\ ВСD = /\ BСЕ) и также равны их боковые рёбра, являющиеся перпендикулярами к одной плоскости. Значит, объёмы этих призм равны. Также равны объёмы призм с основаниями BАD и BАF.

Таким образом, оказывается, что объём данной треугольной призмы с основанием
АBС вдвое меньше объёма прямоугольного параллелепипеда с основанием АСЕF.

Нам известно, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту, т. е. в данном случае равен 2Sh. Отсюда объём данной прямой треугольной призмы равен Sh.

Объём прямой треугольной призмы равен произведению площади её основания на высоту.

2. Объём прямой многоугольной призмы.

Чтобы найти объём прямой многоугольной призмы, например пятиугольной, с площадью основания S и высотой h, разобьём её на треугольные призмы (черт. 308).

Обозначив площади основания треугольных призм через S 1 , S 2 и S 3 , а объём данной многоугольной призмы через V, получим:

V = S 1 h + S 2 h+ S 3 h, или
V = (S 1 + S 2 + S 3)h.

И окончательно: V = Sh.

Таким же путём выводится формула объема прямой призмы, имеющей в основании любой многоугольник.

Значит, объём любой прямой призмы равен произведению площади её основания на высоту.

Упражнения.

1. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании параллелограмм, по следующим данным:

2. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании треугольник, по следующим данным:

3. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании равносторонний треугольник со стороной в 12 см (32 см, 40 см). Высота призмы 60 см.

4. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании прямоугольный треугольник с катетами в 12 см и 8 см (16 см и 7 см; 9 м и 6 м). Высота призмы 0,3 м.

5. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании трапецию с параллельными сторонами в 18 см и 14 см и высотой в 7,5 см. Высота призмы 40 см.

6. Вычислить объём вашей классной комнаты (физкультурного зала, своей комнаты).

7. Полная поверхность куба равна 150 см 2 (294 см 2 , 864 см 2). Вычислить объём этого куба.

8. Длина строительного кирпича – 25,0 см, ширина его – 12,0 см толщина – 6,5 см. а) Вычислить его объём, б) Определить его вес, если 1 кубический сантиметр кирпича весит 1,6 г.

9. Сколько штук строительного кирпича потребуется для постройки сплошной кирпичной стены, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда длиной в 12 м, шириной в 0,6 м и высотой в 10м? (Размеры кирпича из упражнения 8.)

10. Длина чисто обрезаной доски равна 4,5 м, ширина – 35 см толщина – 6 см. а) Вычислить объем б) Определить её вес, если кубический дециметр доски весит 0,6 кг.

11. Сколько тонн сена можно уложить в сеновал, покрытый двускатной крышей (черт. 309), если длина сеновала равна 12 м, ширина – 8 м, высота – 3,5 м и высота конька крыши равна 1,5 м? (Удельный вес сена принять за 0,2.)

12. Требуется выкопать канаву длиной 0,8 км; в разрезе канава должна иметь форму трапеции с основаниями в 0,9 м и 0,4 м, и глубина канавы должна равняться 0,5 м (черт. 310). Сколько кубометров земли придется при этом вынуть?

Объём призмы. Решение задач

Геометрия является самыммогущественным средством для изощрения нашихумственных способностей и дает нам возможностьправильно мыслить и рассуждать.

Г.Галилей

Цель урока:

  • обучить решению задач на вычисление объема призм, обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о призме и ее элементах, формировать умения решать задачи повышенной сложности;
  • развивать логическое мышление, умение самостоятельно работать, навыки взаимоконтроля и самоконтроля, умение говорить и слушать;
  • выработать привычку к постоянной занятости, каким- либо полезным делом, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности.

Тип урока: урок применения знаний, умений инавыков.

Оборудование: карточки контроля,медиапроектор,презентация “Урок. Объем Призмы”,компьютеры.

Ход урока

  • Боковые ребра призмы (рис 2).
  • Боковую поверхность призмы (рис 2, рис 5).
  • Высоту призмы (рис 3, рис 4).
  • Прямую призму (рис 2,3,4).
  • Наклонную призму (рис 5).
  • Правильную призму (рис 2, рис 3).
  • Диагональное сечение призмы (рис 2).
  • Диагональ призмы (рис 2).
  • Перпендикулярное сечение призмы (ри3, рис4).
  • Площадь боковой поверхности призмы.
  • Площадь полной поверхности призмы.
  • Объем призмы.
    1. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ (8 мин)
    2. Обменяйтесь тетрадями, проверьте решение на слайдах и выставьте отметку (отметка 10 если составлена задача)

      Составьте по рисунку задачу и решите её. Ученик защищает составленную им задачу у доски. Рис 6 и рис 7.

      Глава 2,§3
      Задача.2. Длины всех ребер правильной треугольной призмы равны между собой. Вычислите объем призмы, если площадь ее поверхности равна cм 2 (рис8)

      Глава 2,§3
      Задача 5. Основание прямой призмы АВСА 1В 1С1 есть прямоугольный треугольник АВС (угол АВС=90°), АВ=4см. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2,5см, а высота призмы равна 10см. (рис 9).

      Глава2,§3
      Задача 29.Длина стороны основания правильной четырехугольной призмы равна 3см. Диагональ призмы образует с плоскостью боковой грани угол 30°. Вычислить объем призмы (рис 10).

    3. Совместная работа учителя с классом (2-3мин.).
    4. Цель: подведение итогов теоретической разминки (учащиеся проставляют оценки друг другу), изучение способов решения задач по теме.

    5. ФИЗКУЛЬТМИНУТКА (3 мин)
    6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (10 мин)
    7. На данном этапе учитель организует фронтальную работу по повторению способов решения планиметрических задач, формул планиметрии. Класс делится на две группы, одни решают задачи, другие работают за компьютером. Затем меняются. Учащимся предлагается решить всем № 8 (устно), № 9 (устно). После делятся на группы и преступают к решению задач № 14, № 30, № 32.

      Глава 2, §3, страница 66-67

      Задача 8. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите объём призмы, если площадь сечения плоскостью, проходящей через ребро нижнего основания и середину стороны верхнего основания, равна см (рис.11).

      Глава 2,§3, страница 66-67
      Задача 9. основание прямой призмы – квадрат, а ее боковые ребра в два раза больше стороны основания. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра, равен см. (рис.12)

      Глава 2,§3, страница 66-67
      Задача 14.Основание прямой призмы – ромб, одна из диагоналей которого равна его стороне. Вычислите периметр сечения плоскостью проходящей через большую диагональ нижнего основания, если объем призмы равен и все боковые грани квадраты (рис.13).

      Глава 2,§3, страница 66-67
      Задача 30.АВСА 1 В 1 С 1 –правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой, точка о середина ребра ВВ 1 . Вычислите радиус окружности, вписанной в сечение призмы плоскостью АОС, если объем призмы равен (рис.14).

      Глава 2,§3, страница 66-67
      Задача 32.В правильной четырех угольной призме сумма площадей оснований равна площади боковой поверхности. Вычислите объем призмы, если диаметр окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через две вершины нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания, равен 6 см (рис15).

    Источник: https://www.butirka.ru/main-dishes/n-nikitin-geometriya-obem-pryamoi-prizmy.html

    Н.Никитин Геометрия. Объем треугольной призмы: формула общего типа и формула для правильной призмы

    Объём призмы формула. Н.Никитин Геометрия

    Определение.

    Это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники

    Боковое ребро – это общая сторона двух смежных боковых граней

    Высота призмы – это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы

    Диагональ призмы – отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани

    Диагональная плоскость – плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра

    Диагональное сечение – границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник

    Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) – это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам

    Элементы правильной четырехугольной призмы

    На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:

    • Основания ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 равны и параллельны друг другу
    • Боковые грани AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, каждая из которых является прямоугольником
    • Боковая поверхность – сумма площадей всех боковых граней призмы
    • Полная поверхность – сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
    • Боковые ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 .
    • Диагональ B 1 D
    • Диагональ основания BD
    • Диагональное сечение BB 1 D 1 D
    • Перпендикулярное сечение A 2 B 2 C 2 D 2 .

    Свойства правильной четырехугольной призмы

    • Основаниями являются два равных квадрата
    • Основания параллельны друг другу
    • Боковыми гранями являются прямоугольники
    • Боковые грани равны между собой
    • Боковые грани перпендикулярны основаниям
    • Боковые ребра параллельны между собой и равны
    • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
    • Углы перпендикулярного сечения – прямые
    • Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
    • Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям

    Указания к решению задач

    При решении задач на тему “правильная четырехугольная призма” подразумевается, что:

    Правильная призма – призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см.

    выше свойства правильной четырехугольной призмы) Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия – призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет – пишите об этом в форуме.

    Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ√ .

    Задача

    В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

    Решение. Правильный четырехугольник – это квадрат.

    Соответственно, сторона основания будет равна

    √144 = 12 см. Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна √(12 2 + 12 2) =√288 = 12√2

    Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
    √((12√2) 2 + 14 2) = 22 см

    Ответ: 22 см

    2. Объём прямой многоугольной призмы

    Чтобы найти объём прямой многоугольной призмы, например пятиугольной, с площадью основания Sи высотой h, разобьём её на треугольные призмы (рис. 308).

    Обозначив площади основания треугольных призм через S 1 , S 2 и S 3 , а объём данной многоугольной призмы через V, получим:

    V = S 1 h + S 2 h + S 3 h, или

    V = (S 1 + S 2 + S 3)h.

    И окончательно: V = Sh.

    Таким же путём выводится формула объема прямой призмы, имеющей в основании любой многоугольник.

    Значит, объём любой прямой призмы равен произведению площади её основания на высоту.

    Объём призмы

    Теорема. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

    Сначала докажем эту теорему для треугольной призмы, а потом и для многоугольной.

    1) Проведём (черт. 95) через ребро AA 1 треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 плоскость, параллельную грани ВВ 1 С 1 С, а через ребро СС 1 – плоскость, параллельную грани AA 1 B 1 B; затем продолжим плоскости обоих оснований призмы до пересечения с проведёнными плоскостями.

    Тогда мы получим параллелепипед BD 1 , который диагональной плоскостью АА 1 С 1 С делится на две треугольные призмы (из них одна есть данная). Докажем, что эти призмы равновелики. Для этого проведём перпендикулярное сечение abcd.

    В сечении получится параллелограмм, который диагональю ас делится на два равных треугольника. Данная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание есть \(\Delta\)аbc, а высота – ребро АА 1 .

    Другая треугольная призма равновелика такой прямой, у которой основание есть \(\Delta\)аdс, а высота – ребро АА 1 . Но две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами равны (потому что при вложении они совмещаются), значит, призмы АВСА 1 В 1 С 1 и ADCA 1 D 1 C 1 равновелики.

    Из этого следует, что объём данной призмы составляет половину объёма параллелепипеда BD 1 ; поэтому, обозначив высоту призмы через H, получим:

    $$ V_{\Delta пр.} = \frac{S_{ABCD}\cdot H}{2} = \frac{S_{ABCD}}{2}\cdot H = S_{ABC}\cdot H $$

    2) Проведём через ребро АА 1 многоугольной призмы (черт. 96) диагональные плоскости АА 1 С 1 С и AA 1 D 1 D.

    Тогда данная призма рассечётся на несколько треугольных призм. Сумма объёмов этих призм составляет искомый объём. Если обозначим площади их оснований через b 1 , b 2 , b 3 , а общую высоту через Н, то получим:

    объём многоугольной призмы = b 1 H +b 2 H + b 3 H =(b 1 + b 2 + b 3) H =

    = (площади ABCDE) H.

    Следствие. Если V, В и Н будут числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту призмы, то, по доказанному, можно написать:

    Другие материалы

    курс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

    Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

    Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

    Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

    Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия.

    Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля – до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная.

    База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

    В физике треугольная призма, сделанная из стекла, часто используется для изучения спектра белого света, поскольку она способна разлагать его на отдельные составляющие. В данной статье рассмотрим формулу объема

    Объем треугольной прямоугольной призмы. Н.Никитин Геометрия

    Объём призмы формула. Н.Никитин Геометрия

    В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела – многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях.

    Частным случаем является правильная четырёхугольная призма.

    Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

    Как выглядит призма

    Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры – прямой параллелепипед.

    Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

    На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

    Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение – это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости.

    Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов).

    Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить – 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

    Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

    Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

    Площадь поверхности и объём

    Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

    V = Sосн·h

    Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a,можно записать формулу в более подробном виде:

    V = a²·h

    Если речь идёт о кубе – правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

    Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

    Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

    Sбок = Pосн·h

    С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a,формула принимает вид:

    Sбок = 4a·h

    Для куба:

    Sбок = 4a²

    Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

    Sполн = Sбок + 2Sосн

    Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

    Sполн = 4a·h + 2a²

    Для площади поверхности куба:

    Sполн = 6a²

    Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

    Нахождение элементов призмы

    Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

    • длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h);
    • длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
    • площадь основания: Sосн = V / h;
    • площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

    Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

    Sдиаг = ah√2

    Для вычисления диагонали призмы используется формула:

    dприз = √(2a² + h²)

    Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

    Примеры задач с решениями

    Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

    Задание 1.

    В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

    Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a. В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

    V₁ = ha² = 10a²

    Для второй коробки длина основания составляет 2a, но неизвестна высота уровня песка:

    V₂ = h (2a)² = 4ha²

    Поскольку V₁ = V₂, можно приравнять выражения:

    10a² = 4ha²

    После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

    В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

    Задание 2.

    ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

    Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

    Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения – длина, ширина и высота – равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

    Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

    a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

    Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

    Sполн = 6a² = 6·6² = 216


    Задание 3.

    В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

    Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

    Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

    Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м².

    Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

    Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

    Как найти площадь куба

    Объём призмы. Решение задач

    Геометрия является самыммогущественным средством для изощрения нашихумственных способностей и дает нам возможностьправильно мыслить и рассуждать.

    Г.Галилей

    Цель урока:

    • обучить решению задач на вычисление объема призм, обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о призме и ее элементах, формировать умения решать задачи повышенной сложности;
    • развивать логическое мышление, умение самостоятельно работать, навыки взаимоконтроля и самоконтроля, умение говорить и слушать;
    • выработать привычку к постоянной занятости, каким- либо полезным делом, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности.

    Тип урока: урок применения знаний, умений инавыков.

    Оборудование: карточки контроля,медиапроектор,презентация “Урок. Объем Призмы”,компьютеры.

    Ход урока

    • Боковые ребра призмы (рис 2).
    • Боковую поверхность призмы (рис 2, рис 5).
    • Высоту призмы (рис 3, рис 4).
    • Прямую призму (рис 2,3,4).
    • Наклонную призму (рис 5).
    • Правильную призму (рис 2, рис 3).
    • Диагональное сечение призмы (рис 2).
    • Диагональ призмы (рис 2).
    • Перпендикулярное сечение призмы (ри3, рис4).
    • Площадь боковой поверхности призмы.
    • Площадь полной поверхности призмы.
    • Объем призмы.
      1. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ (8 мин)
      2. Обменяйтесь тетрадями, проверьте решение на слайдах и выставьте отметку (отметка 10 если составлена задача)

        Составьте по рисунку задачу и решите её. Ученик защищает составленную им задачу у доски. Рис 6 и рис 7.

        Глава 2,§3
        Задача.2. Длины всех ребер правильной треугольной призмы равны между собой. Вычислите объем призмы, если площадь ее поверхности равна cм 2 (рис8)

        Глава 2,§3
        Задача 5. Основание прямой призмы АВСА 1В 1С1 есть прямоугольный треугольник АВС (угол АВС=90°), АВ=4см. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2,5см, а высота призмы равна 10см. (рис 9).

        Глава2,§3
        Задача 29.Длина стороны основания правильной четырехугольной призмы равна 3см. Диагональ призмы образует с плоскостью боковой грани угол 30°. Вычислить объем призмы (рис 10).

      3. Совместная работа учителя с классом (2-3мин.).
      4. Цель: подведение итогов теоретической разминки (учащиеся проставляют оценки друг другу), изучение способов решения задач по теме.

      5. ФИЗКУЛЬТМИНУТКА (3 мин)
      6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (10 мин)
      7. На данном этапе учитель организует фронтальную работу по повторению способов решения планиметрических задач, формул планиметрии. Класс делится на две группы, одни решают задачи, другие работают за компьютером. Затем меняются. Учащимся предлагается решить всем № 8 (устно), № 9 (устно). После делятся на группы и преступают к решению задач № 14, № 30, № 32.

        Глава 2, §3, страница 66-67

        Задача 8. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите объём призмы, если площадь сечения плоскостью, проходящей через ребро нижнего основания и середину стороны верхнего основания, равна см (рис.11).

        Глава 2,§3, страница 66-67
        Задача 9. основание прямой призмы – квадрат, а ее боковые ребра в два раза больше стороны основания. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра, равен см. (рис.12)

        Глава 2,§3, страница 66-67
        Задача 14.Основание прямой призмы – ромб, одна из диагоналей которого равна его стороне. Вычислите периметр сечения плоскостью проходящей через большую диагональ нижнего основания, если объем призмы равен и все боковые грани квадраты (рис.13).

        Глава 2,§3, страница 66-67
        Задача 30.АВСА 1 В 1 С 1 –правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой, точка о середина ребра ВВ 1 . Вычислите радиус окружности, вписанной в сечение призмы плоскостью АОС, если объем призмы равен (рис.14).

        Глава 2,§3, страница 66-67
        Задача 32.В правильной четырех угольной призме сумма площадей оснований равна площади боковой поверхности. Вычислите объем призмы, если диаметр окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через две вершины нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания, равен 6 см (рис15).

      Источник: https://himcomp.ru/elektronika/obem-treugolnoi-pryamougolnoi-prizmy-n-nikitin-geometriya.html

      Из каких элементов состоит призма

      Призма состоит из таких элементов, как нижнее и верхнее основание, боковые грани, ребра и вершины.

      Оба основания призмы лежат в плоскостях и параллельны друг другу. Боковые грани пирамиды – это параллелограммы. Боковая поверхность пирамиды является суммой боковых граней. Общие стороны боковых граней, есть не что иное, как боковые ребра данной фигуры. Высотой пирамиды является отрезок, соединяющий плоскости оснований и перпендикулярен им.

      Свойства призмы

      Геометрическая фигура, как призма, обладает рядом свойств. Давайте более подробно рассмотрим эти свойства:

      Во-первых, основаниями призмы называются равные многоугольники; Во-вторых, у призмы боковые грани представлены в виде параллелограмма; В-третьих, у этой геометрической фигуры ребра параллельны и равны; В-четвертых, площадью полной поверхности призмы является:

      А теперь рассмотрим теорему, которая предоставляет формулу, с помощью которой вычисляют площадь боковой поверхности и доказательство.

      Задумывались ли вы над таким интересным фактом, что призмой может быть не только, геометрическое тело, но и другие окружающие нас предметы. Даже обычная снежинка в зависимости от температурного режима может превратиться в ледяную призму, приняв форму шестигранной фигуры.

      А вот кристаллы кальцита обладают таким уникальным явлением, как распадаться на осколки и приобретать форму параллелепипеда. И что самое удивительное, на какие бы мелкие части не дробили кристаллы кальцита, результат всегда одинаковый, они превращаются в махонькие параллелепипеды.

      Оказывается, призма получила популярность не только в математике, демонстрируя свое геометрическое тело, но и в области искусства, так как она является основой картин, созданных такими великими художниками, как П.Пикассо, Брак, Грисс и других.

      В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела – многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях.

      Частным случаем является правильная четырёхугольная призма.

      Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

      Общая теория

      Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник – от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.

      При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.

      Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.

      Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.

      Треугольная призма

      Она имеет в основании фигуру, имеющую три вершины, то есть треугольник. Он, как известно, бывает разным. Если то достаточно вспомнить, что его площадь определяется половиной произведения катетов.

      Математическая запись выглядит так: S = ½ ав.

      Чтобы узнать площадь основания в общем виде, пригодятся формулы: Герона и та, в которой берется половина стороны на высоту, проведенную к ней.

      Первая формула должна быть записана так: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). В этой записи присутствует полупериметр (р), то есть сумма трех сторон, разделенная на два.

      Вторая: S = ½ н а * а.

      Если требуется узнать площадь основания треугольной призмы, которая является правильной, то треугольник оказывается равносторонним. Для него существует своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

      Четырехугольная призма

      Ее основанием является любой из известных четырехугольников. Это может быть прямоугольник или квадрат, параллелепипед или ромб. В каждом случае для того, чтобы вычислить площадь основания призмы, будет нужна своя формула.

      Если основание — прямоугольник, то его площадь определяется так: S = ав, где а, в — стороны прямоугольника.

      Когда речь идет о четырехугольной призме, то площадь основания правильной призмы вычисляется по формуле для квадрата. Потому что именно он оказывается лежащим в основании. S = а 2 .

      В случае когда основание — это параллелепипед, будет нужно такое равенство: S = а * н а. Бывает такое, что даны сторона параллелепипеда и один из углов. Тогда для вычисления высоты потребуется воспользоваться дополнительной формулой: н а = в * sin А. Причем угол А прилегает к стороне «в», а высота н а противолежащая к этому углу.

      Если в основании призмы лежит ромб, то для определения его площади будет нужна та же формула, что для параллелограмма (так как он является его частным случаем). Но можно воспользоваться и такой: S = ½ d 1 d 2 . Здесь d 1 и d 2 – две диагонали ромба.

      Правильная пятиугольная призма

      Этот случай предполагает разбиение многоугольника на треугольники, площади которых узнать проще. Хотя бывает, что фигуры могут быть с другим количеством вершин.

      Поскольку основание призмы — правильный пятиугольник, то он может быть разделен на пять равносторонних треугольников. Тогда площадь основания призмы равна площади одного такого треугольника (формулу можно посмотреть выше), умноженной на пять.

      Правильная шестиугольная призма

      По принципу, описанному для пятиугольной призмы, удается разбить шестиугольник основания на 6 равносторонних треугольников. Формула площади основания такой призмы подобна предыдущей. Только в ней следует умножать на шесть.

      Выглядеть формула будет таким образом: S = 3/2 а 2 * √3.

      Задачи

      № 1. Дана правильная прямая Ее диагональ равна 22 см, высота многогранника — 14 см. Вычислить площадь основания призмы и всей поверхности.

      Решение. Основанием призмы является квадрат, но его сторона не известна. Найти ее значение можно из диагонали квадрата (х), которая связана с диагональю призмы (d) и ее высотой (н).

      х 2 = d 2 – н 2 . С другой стороны, этот отрезок «х» является гипотенузой в треугольнике, катеты которого равны стороне квадрата. То есть х 2 = а 2 + а 2 .

      Таким образом получается, что а 2 = (d 2 – н 2)/2.

      Подставить вместо d число 22, а «н» заменить его значением — 14, то получается, что сторона квадрата равна 12 см. Теперь просто узнать площадь основания: 12 * 12 = 144 см 2 .

      Чтобы узнать площадь всей поверхности, нужно сложить удвоенное значение площади основания и учетверенную боковую. Последнюю легко найти по формуле для прямоугольника: перемножить высоту многогранника и сторону основания. То есть 14 и 12, это число будет равно 168 см 2 . Общая площадь поверхности призмы оказывается 960 см 2 .

      Ответ. Площадь основания призмы равна 144 см 2 . Всей поверхности – 960 см 2 .

      № 2. Дана В основании лежит треугольник со стороной 6 см. При этом диагональ боковой грани составляет 10 см. Вычислить площади: основания и боковой поверхности.

      Решение. Так как призма правильная, то ее основанием является равносторонний треугольник. Поэтому его площадь оказывается равна 6 в квадрате, умноженному на ¼ и на корень квадратный из 3. Простое вычисление приводит к результату: 9√3 см 2 . Это площадь одного основания призмы.

      Все боковые грани одинаковые и представляют собой прямоугольники со сторонами 6 и 10 см. Чтобы вычислить их площади, достаточно перемножить эти числа. Потом умножить их на три, потому что боковых граней у призмы именно столько. Тогда площадь боковой поверхности оказывается раной 180 см 2 .

      Ответ. Площади: основания – 9√3 см 2 , боковой поверхности призмы – 180 см 2 .

      • Карта сайта
      • Обратная связь

      Источник: https://psyshit.ru/n-nikitin-geometriya-obem-treugolnoi-prizmy-formula-obshchego-tipa-i-formula.html

Вопросы юристу
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: