Закон движения дается векторным уравнением. Закон движения тела: определение, формулы

Содержание
  1. Кинематика. Теория и формулы для ЕГЭ + шпаргалка
  2. 1. Равномерное движение
  3. 2. Движение с постоянным ускорением
  4. Дополнительные материалы по кинематике
  5. Закон движения тела: определение, формулы
  6. О каких типах движения пойдет речь?
  7. Равномерное движение, или состояние покоя
  8. Перемещение по прямой с ускорением
  9. Прямолинейное ускоренное (замедленное) движение с наличием начальной скорости
  10. Движение по окружности
  11. Вращение вокруг оси с постоянной скоростью
  12. Вращение вокруг оси с ускорением
  13. Движение по эллиптической траектории на примере планет Солнечной системы
  14. Магия тензорной алгебры: Часть 6 — Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  15. 1. Свободное движение твердого тела. Тензор поворота
  16. 2. Скорость точки тела при свободном движении. Угловая скорость выходит на сцену
  17. Траектория движения
  18. Уравнение траектории движения
  19. Обратимость движения
  20. Параметры траектории движения
  21. Примеры задач с решением
  22. Равноускоренное движение
  23. Зависимость скорости от времени
  24. Закон движения
  25. Прямолинейное равноускоренное движение
  26. Свободное падение
  27. Горизонтальный бросок
  28. Бросок под углом к горизонту
  29. Уравнение движения материальной точки
  30. Система отсчета. Системы координат
  31. Кинематическое уравнение движения материальной точки

Кинематика. Теория и формулы для ЕГЭ + шпаргалка

Закон движения дается векторным уравнением. Закон движения тела: определение, формулы

Механическое движение – изменение положения тела относительно других тел с течением времени. Способы описания: словесный, табличный, графический, формулами.

Материальная точка – тело, собственными размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Траектория – линия, которую описывает материальная точка при своём движении в пространстве. По виду траектории все движения делятся на прямолинейные и криволинейные.

Система отсчёта – часы и система координат, связанные с условно выбираемым телом отсчёта (наблюдателем).

Относительность движения – различие скорости, направления и траектории движения в различных системах отсчёта.

Перемещение – вектор, проведённый из начального положения материальной точки в её конечное положение.

1. Равномерное движение

1.1. Равномерное прямолинейное движение

Равномерное движение – движение тела, при котором за равные интервалы времени оно преодолевает равные части пути.

Скорость равномерного движения равна отношению пройденного пути к интервалу времени, за который этот путь пройден.

Скорость равномерного прямолинейного движения равна отношению перемещения к интервалу времени его совершения.

Уравнение равно-прямолинейного движения x = xo + υoxt показывает, что координата линейно зависит от времени.

Мгновенная скорость равна отношению перемещения к бесконечно малому интервалу времени, за который оно произошло.

1.2 Равномерное движение по окружности (равномерное вращение)

Равномерное движение по окружности — это движение, при котором материальная точка за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности.

Равномерное движение тела по окружности — это частный и наиболее простой случай криволинейного движения. Хотя при таком движении модуль скорости остается постоянным, это движение с ускорением, которое является следствием изменения направления вектора скорости.

2. Движение с постоянным ускорением

Равноускоренное движение – движение, при котором мгновенная скорость за любые равные интервалы времени меняется одинаково.

Мгновенное ускорение равно отношению изменения мгновенной скорости тела к бесконечно малому интервалу времени, за который это изменение произошло.

Ускорение равноускоренного движения равно отношению изменения мгновенной скорости тела к интервалу времени, за который это изменение произошло.

Уравнение равноускоренного движения y = yo + υoyt + ½ay показывает, что координата квадратично зависит от времени. Уравнение υy = υoy + aytпоказывает, что скорость линейно зависит от времени.

Центростремительное ускорение – ускорение, всегда направленное к центру окружности при равномерном движении по ней материальной точки. Модуль центростремительного ускорения равен отношению квадрата модуля скорости равномерного движения по окружности к её радиусу.

Дополнительные материалы по кинематике

Кинематика. Таблица кратко.

Это конспект по физике «Кинематика. Теория и формулы для ЕГЭ» + шпаргалка.

Еще конспекты для 10-11 классов:

  • Молекулярно-кинетическая теория
  • Кинематика. Теория и формулы + Шпаргалка
  • Динамика. Теория и формулы + Шпаргалка
  • Законы сохранения. Работа и мощность. Теория, Формулы, Шпаргалка
  • Статика и гидростатика. Теория и формулы + Шпаргалка
  • Термодинамика. Теория, формулы, схемы
  • Электростатика. Теория и формулы + Шпаргалка
  • Постоянный ток. Теория, формулы, схемы
  • Магнитное поле. Теория, формулы, схемы
  • Электромагнитная индукция
  • Закон сохранения импульса. Задачи ЕГЭ с решениями
  • Колебания и волны. Задачи ЕГЭ с решениями
  • Физика 10 класс. Все формулы и темы
  • Физика 11 класс. Все формулы и определения
  • Световые кванты
  • ЕГЭ Квантовая физика. Задачи с решениями
  • Излучения и спектры
  • Атомная физика (физика атома)
  • ЕГЭ Закон Кулона. ЗАДАЧИ с решениями
  • Электрическое поле. ЗАДАЧИ с решениями
  • Потенциал. Разность потенциалов. ЗАДАЧИ с решениями
  • Закон Ома. Соединение проводников. ЗАДАЧИ на ЕГЭ
  • Закон Ома для всей цепи. ЗАДАЧИ на ЕГЭ

Источник: https://uchitel.pro/%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/

Закон движения тела: определение, формулы

Закон движения дается векторным уравнением. Закон движения тела: определение, формулы

Каждый обращал внимание на все многообразие видов движения, с которыми он сталкивается в своей жизни. Однако любое механическое движение тела сводится к одному из двух типов: линейное или вращательное. Рассмотрим в статье основные законы движения тел.

О каких типах движения пойдет речь?

Как было отмечено во введении, все виды движения тела, которые рассматриваются в классической физике, связаны либо с прямолинейной траекторией, либо с круговой. Любые другие траектории можно получить благодаря комбинации этих двух. Далее в статье будут рассмотрены следующие законы движения тела:

  • Равномерное по прямой линии.
  • Равноускоренное (равнозамедленное) по прямой линии.
  • Равномерное по окружности.
  • Равноускоренное по окружности.
  • Движение по эллиптической траектории.
  • Равномерное движение, или состояние покоя

    Преподаватели СПБГУ: педагогический состав, факультеты, направления

    Этим движением с научной точки зрения начал интересоваться впервые Галилей в конце XVI – начале XVII века. Изучая инерционные свойства тела, а также введя понятие о системе отсчета, он догадался, что состояние покоя и равномерного движения – это одно и то же (все зависит от выбора объекта, относительно которого рассчитывают скорость).

    Впоследствии Исаак Ньютон сформулировал свой первый закон движения тела, согласно которому скорость последнего является постоянной величиной всегда, когда нет внешних сил, изменяющих характеристики движения.

    Канал ДНЕВНИК ПРОГРАММИСТА Жизнь программиста и интересные обзоры всего. , чтобы не пропустить новые видео.

    Равномерное прямолинейное перемещение тела в пространстве описывается следующей формулой:

    s = v * t

    Где s – расстояние, которое преодолеет тело за время t, двигаясь со скоростью v. Это простое выражение также записывается в следующих формах (все зависит от величин, которые известны):

    v = s / t; t = s / v

    Перемещение по прямой с ускорением

    Согласно второму закону Ньютона, наличие внешней силы, действующей на тело, неминуемо приводит к появлению ускорения у последнего. Из определения ускорения (быстрота изменения скорости) следует выражение:

    a = v / t или v = a * t

    Если действующая на тело внешняя сила будет оставаться постоянной (не будет изменять модуля и направления), то ускорение также не изменится. Такой тип движения называется равноускоренным, где ускорение выступает коэффициентом пропорциональности между скоростью и временем (скорость растет линейно).

    Характеристика движения под углом к горизонту: формулы, решение задачи с лучником

    Для этого движения пройденный путь рассчитывается с помощью интегрирования скорости по времени. Закон движения тела для пути при равноускоренном перемещении приобретает форму:

    s = a * t2 / 2

    Самым распространенным примером этого движения является падение любого предмета с высоты, при котором сила тяжести сообщает ему ускорение g = 9,81 м/с2.

    Прямолинейное ускоренное (замедленное) движение с наличием начальной скорости

    По сути, речь идет о комбинации двух видов перемещения, рассмотренных в предыдущих пунктах. Представим простую ситуацию: автомобиль ехал с некоторой скоростью v0, затем водитель нажал на тормоза, и транспортное средство через некоторое время остановилось. Как описать движение в этом случае? Для функции скорости от времени справедливо выражение:

    v = v0 – a * t

    Здесь v0 – начальная скорость (до торможения авто). Знак минус говорит о том, что внешняя сила (трения скольжения) направлена против скорости v0.

    Как и в предыдущем пункте, если взять интеграл по времени от v(t), то получаем формулу для пути:

    s = v0 * t – a * t2 / 2

    Отметим, что по этой формуле вычисляется только путь торможения. Чтобы узнать расстояние, пройденное автомобилем за все время его движения, следует найти сумму двух путей: для равномерного и для равнозамедленного движения.

    В примере описанном выше, если бы водитель нажал не на педаль тормоза, а на педаль газа, тогда в представленных формулах поменялся бы знак “-” на “+”.

    Движение по окружности

    Любое движение по окружности не может происходить без ускорения, поскольку даже при сохранении модуля скорости изменяется ее направление. Ускорение, которое связано с этим изменением, называется центростремительным (именно оно искривляет траекторию тела, превращая ее в окружность). Модуль этого ускорения вычисляют так:

    ac = v2 / r, r – радиус

    В этом выражении скорость может зависеть от времени, как это происходит в случае равноускоренного движения по окружности. В последнем случае ac будет быстро расти (квадратичная зависимость).

    Центростремительное ускорение определяет силу, которую нужно прикладывать, чтобы удерживать тело на круговой орбите. Примером являются соревнования по метанию молота, когда спортсмены прикладывают значительные усилия, чтобы раскрутить снаряд до его метания.

    Тюркизмы в русском языке: понятие, история появления, звучание и примеры

    Вращение вокруг оси с постоянной скоростью

    Этот вид движения идентичен предыдущему, только описывать его принято не с использованием линейных физических величин, а с применением угловых характеристик. Закон вращательного движения тела, когда угловая скорость не изменяется, в скалярной форме записывается так:

    L =I * ω

    Здесь L и I – моменты импульса и инерции, соответственно, ω – угловая скорость, которая с линейной связана равенством:

    v = ω * r

    Величина ω показывает, на сколько радиан повернется тело за секунду. Величины L и I имеют такой же смысл, как импульс и масса для прямолинейного движения. Соответственно, угол θ, на который повернется тело за время t, вычисляется так:

    θ = ω * t

    Примером этого типа движения является вращение маховика, находящегося на коленчатом вале в двигателе автомобиля. Маховик – это массивный диск, которому очень тяжело придать какое-либо ускорение. Благодаря этому он обеспечивает плавность изменения крутящего момента, который передается от двигателя к колесам.

    Вращение вокруг оси с ускорением

    Если к системе, которая способна вращаться, прикладывать внешнюю силу, то она начнет увеличивать свою угловую скорость. Такая ситуация описывается следующим законом движения тела вокруг оси вращения:

    F * d = I * dω / dt

    Здесь F – внешняя сила, которая приложена к системе на расстоянии d от оси вращения. Произведение в левой части равенства носит название момента силы.

    Для равноускоренного движения по окружности получаем, что ω зависит от времени следующим образом:

    ω = α * t, где α = F * d / I – угловое ускорение

    В этом случае угол поворота за время t можно определить, проинтегрировав ω по времени, то есть:

    θ = α * t2 / 2

    Если же тело уже вращалось с некоторой скоростью ω0, а затем начал действовать внешний момент силы F*d, то по аналогии с линейным случаем можно записать такие выражения:

    ω = ω0 + α * t;

    θ = ω0 * t + α * t2 / 2

    Таким образом, появление внешнего момента сил является причиной наличия ускорения в системе с осью вращения.

    Для полноты информации отметим, что изменить скорость вращения ω можно не только с помощью внешнего момента сил, но и благодаря изменению внутренних характеристик системы, в частности ее момента инерции. Эту ситуацию видел каждый человек, который наблюдал за вращением фигуристов на льду. Группируясь, спортсмены увеличивают ω за счет уменьшения I, согласно простому закону движения тела:

    I * ω = const

    Движение по эллиптической траектории на примере планет Солнечной системы

    Как известно, наша Земля и другие планеты Солнечной системы вращаются вокруг своей звезды не по окружности, а по эллиптической траектории.

    Впервые математические законы для описания этого вращения сформулировал знаменитый немецкий ученый Иоганн Кеплер в начале XVII века.

    Используя результаты наблюдений своего учителя Тихо Браге за движением планет, Кеплер пришел к формулировке своих трех законов. Они формулируются следующим образом:

  • Планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам, причем Солнце расположено в одном из фокусов эллипса.
  • Радиус-вектор, который соединяет Солнце и планету, за равные промежутки времени описывает одинаковые площади. Этот факт следует из сохранения момента импульса.
  • Если поделить квадрат периода обращения на куб большой полуоси эллиптической орбиты планеты, то получается некоторая константа, которая одинакова для всех планет нашей системы. Математически это записывается так:
  • T2 / a3 = С = const

    Впоследствии Исаак Ньютон, используя эти законы движения тел (планет), сформулировал свой знаменитый закон всемирной гравитации, или тяготения. Применяя его, можно показать, что константа C в 3-м законе Кеплера равна:

    C = 4 * pi2 / (G * M)

    Где G – гравитационная универсальная константа, а M – масса Солнца.

    Отметим, что движение по эллиптической орбите в случае действия центральной силы (тяготения) приводит к тому, что линейная скорость v постоянно меняется. Она максимальна, когда планета находится ближе всего к звезде, и минимальна вдали от нее.

    Источник

    Источник: https://1Ku.ru/obrazovanie/30649-zakon-dvizhenija-tela-opredelenie-formuly/

    Магия тензорной алгебры: Часть 6 — Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости

    Закон движения дается векторным уравнением. Закон движения тела: определение, формулы
    Что такое угловая скорость? Скалярная или векторная величина? На самом деле это не праздный вопрос. Читая лекции по теоретической механике в университете, я, следуя традиционной методике изложения курса кинематики, вводил понятие угловой скорости в теме «Скорость точки тела при вращательном движении».

    И там угловая скорость впервые появляется как скалярная величина, со следующим определением.

    Угловая скорость твердого тела — это первая производная от угла поворота тела по времени

    А вот потом, при рассмотрении каноничной формулы Эйлера для скорости точки тела при вращении обычно дается следующее определениеУгловая скорость тела — это псевдовектор, направленный вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение выглядит происходящим против часовой стрелки
    Ещё одно частное определение, которое, во-первых, утверждает неподвижность оси вращения, во-вторых навязывает рассмотрение лишь правой системы координат. И наконец термин «псевдовектор» обычно объясняется студентам так: «Посмотрите, ведь мы показали, что омега — скалярная величина. А вектор мы вводим для того, чтобы выписать формулу Эйлера». При рассмотрении сферического движения оказывается потом, что ось вращения меняет направление, угловое ускорение направлено по касательной к годографу угловой скорости и так далее. Неясности и вводные допущения множатся. Учитывая уровень подготовки школьников, а так же вопиющую глупость, допускаемую в программах подготовки бакалавров, когда теормех начинается с первого (вдумайтесь!) семестра, такие постепенные вводные, на палках, веревках и желудях наверное оправданы. Но мы с вами заглянем, что называется, «под капот» проблемы и, вооружившись аппаратом тензорного исчисления, выясним, что угловая скорость — это псевдовектор, порождаемый антисимметричным тензором второго ранга. Думаю для затравки вполне достаточно, а поэтому — начнем!

    1. Свободное движение твердого тела. Тензор поворота

    Итак, как известно из традиционного вузовского курса теормехаЕсли движение, совершаемо телом не ограничено связями, то такое его движение называют свободным

    Это — самый общий случай движения тела.

    Следующий рисунок иллюстрирует тот факт, что свободное движение тела можно представить как сумму двух движений: поступательного вместе с полюсом и сферического вокруг полюса. Рис. 1. Обычная иллюстрация из курса теоретической механики: определение положения свободного твердого тела в пространстве.

    Напомню, что речь идет об абсолютно твердом теле, то есть теле, расстояния между точками которого не изменяется с течением времени. Ещё можно сказать, что твердое тело представляет собой неизменяемую механическую систему.

    Как видно из рисунка 1, обычной практикой является рассмотрение двух систем координат — одна считается неподвижной и называется базовой, другая жестко связанна с телом и поворачивается относительно базовой вместе с ним. Такую систему координат называют связанной.

    Сначала я тоже хотел ограничиться декартовыми координатами. Но тогда бы мои читатели задали бы мне логичный вопрос — «а зачем тогда тут тензоры?». Поэтому, потратив четыре для в мучительных раздумьях и «нагуляв» окончательное решение пару часов назад, я решил замахнуться на «Вильяма, нашего, Шекспира» и изложить дальнейшие рассуждения в криволинейных координатах. Рис. 2. Ориентация твердого тела в локальном базисе.

    Пусть положение полюса задается вектором

    Причем под этим вектором не следует понимать радиус-вектор, так как в криволинейных координатах такое понятие бессмысленно.

    В точке O1 задан локальный репер базовой системы координат, образованный тройкой векторов . С движущимся телом связан подвижный репер . Поворот связанного репера относительно базового можно задать линейным оператором. Получим этот оператор и исследуем его свойства

    Рассмотрим некоторую точку M, принадлежащую телу. К ней из полюса можно провести вектор неподвижный относительно связанного репера. Его можно разложить по векторам этого репера

    и по векторам базового репера Каждый вектор связанного репера можно разложить через векторы базового репера Подставляем (4) в (2) и сравниваем с (3)
    Из (5) понятно, что компоненты вектора в базовой системе координат, пересчитываются через его компоненты в связанной системе путем применения линейного оператора или в безиндексной форме где столбцы матрицы
    – контравариантные компоненты векторов связанного репера по отношению к базовому. Точка, как мы уже отмечали в прошлой статье, обозначает умножение тензоров с последующей сверткой по соседней паре индексов. Линейный оператор
    действует на векторы таким образом, что поворачивает их относительно некоторой оси, не меняя длины и угла между векторами. Такое преобразование пространства называется ортогональным. Для того, чтобы таковое преобразование было возможным, оператор (7) должен обладать вполне определенными свойствами. Если длина векторов базиса и углы между ними не меняются, то это означает равенство всех попарных скалярных произведений векторов репера как в базовой, так и в связанной системах координат Правая часть (8) — это локальный метрический тензор
    или
    Оператор является по сути обыкновенной матрицей поворота координатной системы. И (10) утверждает, что если транспонированную матрицу поворота умножить на метрический тензор, а результат умножить на матрицу поворота мы получим снова метрический тензор. Можно сделать вывод, что
    Преобразование координат при повороте является тождественным для метрического тензора, то есть переводит метрический тензор сам в себя.

    В выражении (10) нетрудно увидеть преобразование метрического тензора про смене системы координат, о котором мы подробно говорили в самой первой статье цикла Стоп! Но мы же знаем, что матрицы поворота обычно ортогональны, то есть произведение матрицы поворота на её транспонированную дает единичную матрицу, иными словами, чтобы обратить матрицу поворота её достаточно транспонировать. Но ортогональность свойственна матрицам поворота, преобразующим ортонормированный декартов базис. Здесь мы имеем дело с локальным базисом, при повороте которого должны сохранятся длины векторов и углы между ними. Если мы примем базис декартовым, то из (10) мы получим привычные свойства матрицы поворота, к примеру её ортогональность.

    Для дальнейших вычислений нам потребуется знать, как будет выглядеть матрица обратного преобразования, то есть . Что же, посмотрим. Для этого умножим (10) слева на и справа на

    откуда незамедлительно получаем Выходит, что матрица обратного преобразования действительно получается из транспонированной матрицы преобразования, но с участием метрического тензора. Выражения (10) и (11) очень пригодятся нам, а пока сделаем некоторые выводы. Закон свободного движения твердого тела можно выписать в криволинейных координатах в виде системы уравнений

    При этом (12) — закон движения полюса, а (13) — закон сферического движения тела вокруг полюса. При этом (13) — тензор ранга (1,1), называемый тензором поворота.

    2. Скорость точки тела при свободном движении. Угловая скорость выходит на сцену

    Вычислим скорость точки M, положение которой в связанной системе координат задается постоянными, в силу твердости тела, криволинейными координатами Из курса теоретической механики известна формула, определяющая скорость точки тела в данном движении
    где — скорость полюса; — скорость точки вокруг полюса.

    Так как все координаты, кроме (13) определены относительно базового репера, мы можем записать Индекс в круглых скобках означает систему координат, в которой берутся компоненты (0 — базовая, 1 — связанная).

    Дифференцируем (15) по времени с учетом (13)
    Перейдем в (16) к связанной системе координат, домножив (15) слева на
    где — компонента оператора обратного преобразования .

    Теперь сравним (17) и (14). В последнем слагаемом должно вылезти векторное произведение.

    Вспоминая определение векторного произведения через тензор Леви-Чивиты, данное во второй статье цикла, замечаем, что на выходе оно дает ковектор, поэтому в (17) перейдем к ковариантым компонентам, домножив это выражение на метрический тензор слева

    Теперь представим себе, как выглядел бы ковектор скорости точки относительно плюса, записанный через вектор угловой скорости при этом замечая, что
    антисимметричный тензор второго ранга, о котором мы говорили в прошлой статье

    Источник: https://habr.com/ru/post/262129/

    Траектория движения

    Закон движения дается векторным уравнением. Закон движения тела: определение, формулы

    Во многих задачах интерес представлю не только перемещения материальных точек в пространстве, но и траектории их движения.

    Определение

    Линию, которую описывает частица при своем движении, называется траекторией движения.

    В зависимости от формы траектории механическое движение можно разделить на:

    • прямолинейное движение, траекторией движения точки в этом случае является прямая линия;
    • и криволинейное перемещение (траектория – кривая линия).

    Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. В разных системах отсчета траектории могут быть представлены разными линиями, могут быть прямыми и кривыми.

    При движении точки с постоянным ускорением, которое описывает уравнение:

    \[\overline{r}\left(t\right)={\overline{r}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{a}t2}{2}\left(1\right),\]

    (где $\overline{r}\left(t\right)$ – радиус-вектор точки в момент времени $t$; ${\overline{v}}_0$ – начальная скорость движения точки; $\overline{a}$ – ускорение точки,) траектория движения представляет собой плоскую кривую, что означает все точки этой кривой находятся в одной плоскости.

    Положение этой плоскости в пространстве задают векторы ускорения и начальной скорости. Ориентацию координатных осей чаще всего выбирают так, чтобы плоскость движения совпадала с одной из координатных плоскостей. В этом случае векторное уравнение (1) можно свести к двум скалярным уравнениям.

    Уравнение траектории движения

    Рассмотрим свободное движение тела около поверхности Земли. Начало координат разместим в точке бросания тела (рис.1). Оси координат направим так, как изображено на рис.1.

    Тогда уравнение движения тела (1) в проекциях на координатные оси декартовой системы координат принимает вид системы из двух уравнений:

    \[\left\{ \begin{array}{c}x=v_0t{\cos \alpha \left(2\right),\ } \\y=v_0t{\sin \alpha \ }-\frac{gt2}{2}\left(3\right). \end{array}\right.\]

    Для того чтобы получить уравнение траектории движения тела ($y=y(x)$) следует исключить время движения тела из уравнений (2) и (3). Выразим из уравнения (2) $t$ и подставим его в выражение (3), получим:

    \[t=\frac{x}{v_0{\cos \alpha \ }};\ y=v_0\frac{x}{v_0{cos \alpha \ }}{\sin \alpha \ }-\frac{g}{2}{\left(\frac{x}{v_0{cos \alpha \ }}\right)}2\to y=x\ tg\ \alpha -\frac{gx2}{2v2_0{cos}2\alpha }\left(4\right).\]

    Выражение (4) это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее верви направлены вниз, так как коэффициент при $x2$ меньше нуля.

    Вершина этой параболы находится в точке с координатами:

    \[\left\{ \begin{array}{c}x=\frac{v2_0{\sin \alpha {\cos \alpha \ }\ }}{g} \\y=\frac{v2_0{sin}2\alpha }{2g} \end{array}\right.\left(5\right).\]

    Найти координаты вершины траектории можно при помощи известных правил исследования функций на экстремум. Так, положение максимума функции $y(x)$ определяют, приравнивая к нулю первую производную ($\frac{dy}{dx}$) от нее по $x$.

    Обратимость движения

    Из представления о траектории можно конкретизировать смысл обратимости механического движения.

    Пусть частица движется в силовом поле таком, что ее ускорение в любой точке обладает определенной величиной, не зависящей от скорости. Как будет двигаться эта частица, если, в какой то точке ее траектории направление скорости заменить противоположным? С точки зрения математики это эквивалентно замене $t\ $ на $-t$ для всех уравнений.

    Уравнение траектории время не содержит, получается, что частица будет перемещаться «вспять» по той же самой траектории. При этом отрезки времени между любыми точками траектории будут одинаковы при прямом и обратном движении. Всякой точке траектории ставится в соответствие определенное значение величины скорости независимо от направления движения по данной траектории.

    Данные свойства наглядны в колебательных движениях маятника.

    Все сказанное выше справедливо тогда, когда можно пренебречь любым сопротивлением движению. Обратимость движения существует, когда выполняется закон сохранения механической энергии.

    Параметры траектории движения

    Положение точек системы отсчета можно определять при помощи разных способов. В соответствии с этими способами описывают и движение точки или тела:

    • Координатная форма описания движения. Выбирается система координат, в ней положение точки характеризуют тремя координатами (в трехмерном пространстве). Это могут быть координаты $x_1=x,x_2=y,x_3=z$, в декартовой системе координат. $x_1=\rho ,x_2=\varphi ,x_3=\ z$ в цилиндрической системе и т.д. При перемещении точки координаты являются функциями времени. Описать движение точки – это значит указать эти функции:
    • \[x_1=x_1\left(t\right);;\ x_2=x_2\left(t\right);;\ x_3=x_3\left(t\right)\left(6\right).\]

    • При описании движения в векторной форме положение материальной точки задает радиус-вектор ($\overline{r}$) по отношению к точке, которую принимают начальной. В этом случае вводят точку (тело) отсчета. При перемещении точки вектор $\overline{r}$ постоянно изменяется. Конец этого вектора описывает траекторию. Движение задает выражение:
    • \[\overline{r}=\overline{r}\left(t\right)\left(7\right).\]

    • Третьим способом описания движения является описание с помощью параметров траектории.

    Путь – это скалярная величина, равная длине траектории.

    Если траектория задана, то задачу описания движения сводят к определению закона движения вдоль нее. При этом выбирается начальная точка траектории. Любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ по траектории от начальной точки. В таком случае движение описывают выражением:

    \[s=s\left(t\right)\left(8\right).\]

    Пусть по окружности радиуса R равномерно перемещается точка. Закон движения точки по окружности в рассматриваемом методе запишем как:

    \[s=At\left(9\right),\]

    где $s$ – путь точки по траектории; $t$ – время движения; $A$ – коэффициент пропорциональности. Известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных величин $s$ совпадает с направлением перемещения точки по траектории.

    Знание траектории движения тела во многих случаях существенно упрощает процесс описания движения тела.

    Примеры задач с решением

    Пример 1

    Задание: Точка движется в плоскости XOY из начала координат со скоростью $\overline{v}=A\overline{i}+Bx\overline{j}\ ,\ $где $\overline{i}$, $\overline{j}$ – орты осей X и Y; $A$,B – постоянные величины. Запишите уравнение траектории движения точки ($y(x)$). Изобразите траекторию. \textit{}

    Решение: Рассмотрим уравнение изменения скорости частицы:

    \[\overline{v}=A\overline{i}+Bx\overline{j}\ \left(1.1\right).\]

    Из этого уравнения следует, что:

    \[\left\{ \begin{array}{c}v_x=A, \\v_y=Bx \end{array}\right.\left(1.2\right).\]

    Из (1.2) имеем:

    \[dx=v_xdt=Adt\to dt=\frac{dx}{A};;dy=v_ydt=Bxdt\to dy=Bx\frac{dx}{A}\ \left(1.3\right).\]

    Для получения уравнения траектории следует решить дифференциальное уравнение (1.3):

    \[y=\int\limitsx_0{\frac{B}{A}}xdx=\frac{B}{2A}x2.\]

    Мы получили уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Эта парабола проходит через начало координат. Минимум этой функции находится в точке с координатами:

    \[\left\{ \begin{array}{c}x=0 \\y=0. \end{array}\right.\]     Пример 2

    Задание: Движение материальной точки в плоскости описывает система уравнений: $\left\{ \begin{array}{c}x=At. \\y=At(1+Bt) \end{array}\right.$, где $A$ и $B$ – положительные постоянные. Запишите уравнение траектории точки.

    Решение: Рассмотрим систему уравнений, которая задана в условии задачи:

    \[\left\{ \begin{array}{c}x=At. \\y=At\left(1+Bt\right) \end{array}\right.\left(2.1\right).\]

    Исключим время из уравнений системы. Для этого из первого уравнения системы выразим время, получим:

    \[t=\frac{x}{A}\left(2.2\right).\]

    Подставим вместо $t$ правую (2.2) часть во второе уравнение системы (2.1), имеем:

    \[y=At\left(1+Bt\right)=At+ABt2=A\frac{x}{A}+AB{(\frac{x}{A})}2=x+\frac{B}{A}x2.\]

    Ответ: $y=x+\frac{B}{A}x2$

       

    Читать дальше: ускорение тела.

    Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_95_traektorija_dvizhenija.php

    Равноускоренное движение

    Закон движения дается векторным уравнением. Закон движения тела: определение, формулы

    Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

    Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное падение.

    Равноускоренное движение – это движение с постоянным вектором ускорения . Таким образом, при равноускоренном движении остаются неизменными направление и абсолютная величина ускорения.

    Зависимость скорости от времени

    При изучении равномерного прямолинейного движения вопрос зависимости скорости от времени не возникал: скорость была постоянна в процессе движения. Однако при равноускоренном движении скорость меняется с течением времени, и эту зависимость нам предстоит выяснить.

    Давайте ещё раз потренируемся в элементарном интегрировании. Исходим из того, что производная вектора скорости есть вектор ускорения:

    . (1)

    В нашем случае имеем . Что надо продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор ? Разумеется, функцию . Но не только: к ней можно добавить ещё произвольный постоянный вектор (ведь производная постоянного вектора равна нулю). Таким образом,

    . (2)

    Каков смысл константы ? В начальный момент времени скорость равна своему начальному значению: . Поэтому, полагая в формуле (2), получим:

    .

    Итак, константа – это начальная скорость тела. Теперь соотношение (2) принимает свой окончательный вид:

    . (3)

    В конкретных задачах мы выбираем систему координат и переходим к проекциям на координатные оси. Часто хватает двух осей и прямоугольной декартовой системы координат, и векторная формула (3) даёт два скалярных равенства:

    , (4)

    . (5)

    Формула для третьей компоненты скорости, если она необходима, выглядит аналогично.)

    Закон движения

    Теперь мы можем найти закон движения, то есть зависимость радиус-вектора от времени. Вспоминаем, что производная радиус-вектора есть скорость тела:

    Подставляем сюда выражение для скорости, даваемое формулой (3):

    (6)

    Сейчас нам предстоит проинтегрировать равенство (6). Это несложно. Чтобы получить , надо продифференцировать функцию . Чтобы получить , нужно продифференцировать . Не забудем добавить и произвольную константу :

    .

    Ясно, что – это начальное значение радиус-вектора в момент времени . В результате получаем искомый закон равноускоренного движения:

    . (7)

    Переходя к проекциям на координатные оси, вместо одного векторного равенства (7) получаем три скалярных равенства:

    . (8)

    . (9)

    . (10)

    Формулы (8) – (10) дают зависимость координат тела от времени и поэтому служат решением основной задачи механики для равноускоренного движения.

    Снова вернёмся к закону движения (7). Заметим, что – перемещение тела. Тогда
    получаем зависимость перемещения от времени:

    .

    Прямолинейное равноускоренное движение

    Если равноускоренное движение является прямолинейным, то удобно выбрать координатную ось вдоль прямой, по которой движется тело. Пусть, например, это будет ось . Тогда для решения задач нам достаточно будет трёх формул:

    ,

    ,

    ,

    где – проекция перемещения на ось .

    Но очень часто помогает ещё одна формула, являющаяся их следствием. Выразим из первой формулы время:

    и подставим в формулу для перемещения:

    .

    После алгебраических преобразований (проделайте их обязательно!) придём к соотношению:

    .

    Эта формула не содержит времени и позволяет быстрее приходить к ответу в тех задачах, где время не фигурирует.

    Свободное падение

    Важным частным случаем равноускоренного движения является свободное падение. Так называется движение тела вблизи поверхности Земли без учёта сопротивления воздуха.

    Свободное падение тела, независимо от его массы, происходит с постоянным ускорением свободного падения , направленным вертикально вниз. Почти во всех задачах при расчётах полагают м/с.

    Давайте разберём несколько задач и посмотрим, как работают выведенные нами формулы для равноускоренного движения.

    Задача. Найти скорость приземления дождевой капли, если высота тучи км.

    Решение. Направим ось вертикально вниз, расположив начало отсчёта в точке отрыва капли. Воспользуемся формулой

    .

    Имеем: – искомая скорость приземления, . Получаем: , откуда . Вычисляем: м/с. Это 720 км/ч, порядка скорости пули.

    На самом деле капли дождя падают со скоростью порядка нескольких метров в секунду. Почему такое расхождение? Сопротивление воздуха!

    Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью м/с. Найти его скорость через c.

    Решение. Направим ось вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу

    .

    Здесь , так что . Вычисляем: м/с. Значит, скорость будет равна 20 м/с. Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.

    Задача. С балкона, находящегося на высоте м, бросили вертикально вверх камень со скоростью м/с. Через какое время камень упадёт на землю?

    Решение. Направим ось вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу

    .

    Имеем: так что , или . Решая квадратное уравнение, получим c.

    Горизонтальный бросок

    Равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным. Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.

    Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью с высоты . Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории происходит движение.

    Выберем систему координат так, как показано на рис. 1.

    Рис. 1. Горизонтальный бросок

    Используем формулы:

    В нашем случае . Получаем:

    . (11)

    Время полёта найдём из условия, что в момент падения координата тела обращается в нуль:

    .

    Дальность полёта – это значение координаты в момент времени :

    .

    Уравнение траектории получим, исключая время из уравнений (11). Выражаем из первого уравнения и подставляем во второе:

    .

    Получили зависимость от , которая является уравнением параболы. Следовательно, тело летит по параболе.

    Бросок под углом к горизонту

    Рассмотрим несколько более сложный случай равноускоренного движения: полёт тела, брошенного под углом к горизонту.

    Предположим, что тело брошено с поверхности Земли со скоростью , направленной под углом к горизонту. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории двигается тело.

    Выберем систему координат так, как показано на рис. 2.

    Рис. 2. Бросок под углом к горизонту

    Начинаем с уравнений:

    ,

    .

    В нашем случае . Получаем:

    .

    Дальше действуем так же, как и в случае горизонтального броска. В результате приходим к соотношениям:

    ,

    ,

    .

    (Обязательно проделайте эти вычисления самостоятельно!) Как видим, зависимость от снова является уравнением параболы.Попробуйте также показать, что максимальная высота подъёма определяется формулой:

    .

    Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/ravnouskorennoe-dvizhenie/

    Уравнение движения материальной точки

    Закон движения дается векторным уравнением. Закон движения тела: определение, формулы

    Определение 1

    Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

    Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

    Система отсчета. Системы координат

    Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

    В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x, y, z – ее координат. Могут быть применены другие:

    • сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r, υ, φ;
    • цилиндрическая система с координатами p, z, α;
    • на полярной плоскости с параметрами r, φ.

    В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

    Кинематическое уравнение движения материальной точки

    Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

    Определение 2

    При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

    Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

    r¯=r¯(t) (1).

    Определение 3

    Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

    Ее перемещение по уравнению (1) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t. Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

    x(t)=x, y(t)=y, z(t)=z (2).

    Прямоугольные декартовы координаты x, y, z – это проекции радиус-вектора r¯, проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r¯ можно найти из соотношений, где a, β, γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

    Определение 4

    Равенства (2) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

    Опиши задание

    Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости Оху, тогда применимы полярные координаты r, φ, относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

    r=r(t), φ=φ(t) (3).

    Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q1, q2, q3, связанных с декартовыми преобразованиями вида x=x(q1, q2, q3), y=y(q1, q2, q3), z=z(q1, q2, q3) (4), записывается как

    q1=q1(t), q2=q2(t), q3=q3(t) (5).

    Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями (2), (5). Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

    Определение 5

    Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

    s=s(t).

    Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

    Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

    Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

    Пример 1

    Дано уравнение движения материальной точки x=0,4t2. Произвести запись формулы зависимости υx(t), построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

    Дано: x=0,4t2, t=4c

    Найти: υx(t), S – ?

    Решение

    При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

    υx=υ0x+axt.

    Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

    x=x0+υ0xt+axt22, x=0,4t2.

    Очевидно, что x0=0, υ0x=0, ax=0,8 м/с2.

    После подстановки данных в уравнение:

    υx=0,8t.

    Определим точки, изобразим график:

    υx=0, t=0, υx=4, t=5

    Рисунок 1

    Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

    S=0,4t2=6,4 м.

    Ответ: S=6,4 м.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!

    Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/osnovy-dinamiki/uravnenie-dvizhenija-materialnoj-tochki/

    Вопросы юристу
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: